حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(x - \frac{1}{x})}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 4.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 4.3.2

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

خطوة 4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0)$

خطوة 4.5.2

أضف $1 + x^{- 2}$ و $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 x + 2 (- \frac{1}{x})) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$(2 x - 2 \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 5.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + \frac{- 2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب عوامل $(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$ .

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$

خطوة 5.5

وسّع $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 (2 x - \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

خطوة 5.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

خطوة 5.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

خطوة 5.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

اضرب $2 x$ في $1$ .

$2 x + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

خطوة 5.6.1.2

اضرب $- \frac{2}{x}$ في $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

خطوة 5.6.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 x - \frac{2}{x} + 2 \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

خطوة 5.6.1.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

خطوة 5.6.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

خطوة 5.6.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

خطوة 5.6.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

خطوة 5.6.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

خطوة 5.6.1.7

اضرب $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.7.1

اضرب $\frac{2}{x}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

خطوة 5.6.1.7.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.7.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.7.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

خطوة 5.6.1.7.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

خطوة 5.6.1.7.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

خطوة 5.6.2

أضف $- \frac{2}{x}$ و $\frac{2}{x}$ .

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

خطوة 5.6.3

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$