حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 e^{x} - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

خطوة 1

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 e^{- x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})$ .

$\int \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . إذن $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ ، لذا $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 3.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 3.1.4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 3.1.4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 3.1.4.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 3.1.4.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 3.1.4.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 3.1.4.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل ${u_{2}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ بالصيغة $2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \frac{1}{u_{2}} + C$

خطوة 6.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 2}{u_{2}} + C$

خطوة 6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{u_{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x} + e^{- x}$ .

$- \frac{2}{e^{x} + e^{- x}} + C$