حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1 + \ln (x)}{x}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1 + \ln (x)}{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1 + \ln (x)}{x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1 + \ln (x)}{x} d x$

خطوة 4

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{1}{x} + \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 7.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int u d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 9

بسّط.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1 + \ln (x)}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$