حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{k} (2 k x - x^{2}) d x = 18$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{0}^{k} 2 k x - x^{2} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{k} 2 k x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

خطوة 3

بما أن $2 k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 k$ خارج التكامل.

$2 k \int_{0}^{k} x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 k \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - \int_{0}^{k} x^{2} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{k})$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

خطوة 8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $k$ وفي $0$ .

$2 k ((\frac{k^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

خطوة 8.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $k$ وفي $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} + 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.4

أضف $\frac{k^{2}}{2}$ و $0$ .

$2 k \frac{k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.5

اجمع $2$ و $\frac{k^{2}}{2}$ .

$k \frac{2 k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.6

اجمع $k$ و $\frac{2 k^{2}}{2}$ .

$\frac{k (2 k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.7

ارفع $k$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (k^{1} k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 k^{1 + 2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.9

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.10.2

اقسِم $k^{3}$ على $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 8.2.3.11

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

خطوة 8.2.3.12

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.12.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

خطوة 8.2.3.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.12.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

خطوة 8.2.3.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

خطوة 8.2.3.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

خطوة 8.2.3.12.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - 0)$

خطوة 8.2.3.13

اضرب $- 1$ في $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} + 0)$

خطوة 8.2.3.14

أضف $\frac{k^{3}}{3}$ و $0$ .

$k^{3} - \frac{k^{3}}{3}$

خطوة 8.2.3.15

لكتابة $k^{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$k^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

خطوة 8.2.3.16

اجمع $k^{3}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{k^{3} \cdot 3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

خطوة 8.2.3.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{k^{3} \cdot 3 - k^{3}}{3}$

خطوة 8.2.3.18

انقُل $3$ إلى يسار $k^{3}$ .

$\frac{3 \cdot k^{3} - k^{3}}{3}$

خطوة 8.2.3.19

اطرح $k^{3}$ من $3 k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$

خطوة 8.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2}{3} k^{3}$

خطوة 9

اجمع $\frac{2}{3}$ و $k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$