حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 - 4 x^{2}$ . إذن $d u = - 8 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 - 4 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 4 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$0 - 8 x$

خطوة 1.1.4

اطرح $8 x$ من $0$ .

$- 8 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $4$ و $0$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

خطوة 1.5.2

اطرح $4$ من $4$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

خطوة 2.3

انقُل $8$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{4}^{0} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 5.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 5.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 5.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{0}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $0$ وفي $4$ .

$- \frac{1}{8} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.5

اضرب $2$ في $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.6

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.7

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 7.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 7.2.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{1})$

خطوة 7.2.9

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2)$

خطوة 7.2.10

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 4)$

خطوة 7.2.11

اطرح $4$ من $0$ .

$- \frac{1}{8} \cdot - 4$

خطوة 7.2.12

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$4 (\frac{1}{8})$

خطوة 7.2.13

اجمع $4$ و $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8}$

خطوة 7.2.14

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.14.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

خطوة 7.2.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.14.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 7.2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 7.2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$

خطوة 9