حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 x^{3} - x^{2} + 3 y = 2 + 4 y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (5 x^{3} - x^{2} + 3 y) = \frac{d}{d x} (2 + 4 y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{3} - x^{2} + 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$15 x^{2} - 2 x + 3 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$15 x^{2} - 2 x + 3 y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + 4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

خطوة 3.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$0 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$0 + 4 (2 y y')$

خطوة 3.2.4

اضرب $2$ في $4$ .

$0 + 8 y y'$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $8 y y'$ .

$8 y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$15 x^{2} - 2 x + 3 y' = 8 y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $8 y y'$ من كلا المتعادلين.

$15 x^{2} - 2 x + 3 y' - 8 y y' = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $15 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x + 3 y' - 8 y y' = - 15 x^{2}$

خطوة 5.2.2

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$3 y' - 8 y y' = - 15 x^{2} + 2 x$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $3 y' - 8 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y'$ .

$y' \cdot 3 - 8 y y' = - 15 x^{2} + 2 x$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 8 y y'$ .

$y' \cdot 3 + y' (- 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot 3 + y' (- 8 y)$ .

$y' (3 - 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (3 - 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$ على $3 - 8 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (3 - 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$ على $3 - 8 y$ .

$\frac{y' (3 - 8 y)}{3 - 8 y} = \frac{- 15 x^{2}}{3 - 8 y} + \frac{2 x}{3 - 8 y}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 - 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 - 8 y)}{3 - 8 y} = \frac{- 15 x^{2}}{3 - 8 y} + \frac{2 x}{3 - 8 y}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 15 x^{2}}{3 - 8 y} + \frac{2 x}{3 - 8 y}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 15 x^{2} + 2 x}{3 - 8 y}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $x$ من $- 15 x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- 15 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 15 x) + 2 x}{3 - 8 y}$

خطوة 5.4.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$y' = \frac{x (- 15 x) + x \cdot 2}{3 - 8 y}$

خطوة 5.4.3.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- 15 x) + x \cdot 2$ .

$y' = \frac{x (- 15 x + 2)}{3 - 8 y}$

خطوة 5.4.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 15 x$ .

$y' = \frac{x (- (15 x) + 2)}{3 - 8 y}$

خطوة 5.4.3.4

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{x (- (15 x) - 1 (- 2))}{3 - 8 y}$

خطوة 5.4.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (15 x) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{x (- (15 x - 2))}{3 - 8 y}$

خطوة 5.4.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.6.1

أعِد كتابة $- (15 x - 2)$ بالصيغة $- 1 (15 x - 2)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (15 x - 2))}{3 - 8 y}$

خطوة 5.4.3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x (15 x - 2)}{3 - 8 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (15 x - 2)}{3 - 8 y}$