حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \csc^{4} (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \csc (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\csc (2 x)$ .

$4 \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.2

مشتق $\csc (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 \csc^{3} (2 x) (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4

ارفع $\csc (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$- 4 (\csc^{1} (2 x) \csc^{3} (2 x)) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 4 {\csc (2 x)}^{1 + 3} (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 6

أضف $1$ و $3$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

خطوة 10

اضرب $- 8$ في $1$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x)$