حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$

خطوة 1

اكتب $- \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ في صورة دالة.

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- \frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{6} x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$- \frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{6}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

خطوة 2.1.2.5

اجمع $\frac{- 6}{6}$ و $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

خطوة 2.1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

أخرِج العامل $6$ من $- 6 x^{5}$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

خطوة 2.1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

خطوة 2.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

خطوة 2.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

خطوة 2.1.2.6.2.4

اقسِم $- x^{5}$ على $1$ .

$- x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x^{5} - 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- x^{5} - 2 (5 x^{4})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $5$ في $- 2$ .

$f' (x) = - x^{5} - 10 x^{4}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{5} - 10 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 5 x^{4} - 10 (4 x^{3})$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $4$ في $- 10$ .

$f'' (x) = - 5 x^{4} - 40 x^{3}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 5 x^{4} - 40 x^{3}$ .

$- 5 x^{4} - 40 x^{3}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 5 x^{4} - 40 x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 5 x^{4} - 40 x^{3} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $- 5 x^{3}$ من $- 5 x^{4} - 40 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $- 5 x^{3}$ من $- 5 x^{4}$ .

$- 5 x^{3} x - 40 x^{3} = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $- 5 x^{3}$ من $- 40 x^{3}$ .

$- 5 x^{3} x - 5 x^{3} \cdot 8 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $- 5 x^{3}$ من $- 5 x^{3} (x) - 5 x^{3} (8)$ .

$- 5 x^{3} (x + 8) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{3} = 0$

$x + 8 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{3} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 3.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 8 = 0$

خطوة 3.5.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$x = - 8$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 5 x^{3} (x + 8) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 8$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} - 2 {(0)}^{5}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot 0 - 2 {(0)}^{5}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- \frac{1}{6} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{6}) - 2 {(0)}^{5}$

خطوة 4.1.2.1.2.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{6}$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{5}$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 8$ في $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8$ في العبارة.

$f (- 8) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 8)}^{6} - 2 {(- 8)}^{5}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $6$ .

$f (- 8) = - \frac{1}{6} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

خطوة 4.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{6}$ إلى بسط الكسر.

$f (- 8) = \frac{- 1}{6} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

خطوة 4.3.2.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

خطوة 4.3.2.1.2.3

أخرِج العامل $2$ من $262144$ .

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 131072) - 2 {(- 8)}^{5}$

خطوة 4.3.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 131072) - 2 {(- 8)}^{5}$

خطوة 4.3.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 8) = \frac{- 1}{3} \cdot 131072 - 2 {(- 8)}^{5}$

خطوة 4.3.2.1.3

اجمع $\frac{- 1}{3}$ و $131072$ .

$f (- 8) = \frac{- 1 \cdot 131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $131072$ .

$f (- 8) = \frac{- 131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

خطوة 4.3.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

خطوة 4.3.2.1.6

ارفع $- 8$ إلى القوة $5$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} - 2 \cdot - 32768$

خطوة 4.3.2.1.7

اضرب $- 2$ في $- 32768$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + 65536$

خطوة 4.3.2.2

لكتابة $65536$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + 65536 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.3.2.3

اجمع $65536$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + \frac{65536 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 8) = \frac{- 131072 + 65536 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

اضرب $65536$ في $3$ .

$f (- 8) = \frac{- 131072 + 196608}{3}$

خطوة 4.3.2.5.2

أضف $- 131072$ و $196608$ .

$f (- 8) = \frac{65536}{3}$

خطوة 4.3.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{65536}{3}$ .

$\frac{65536}{3}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 8$ في $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ هي $(- 8, \frac{65536}{3})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 8, \frac{65536}{3})$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (- 8, \frac{65536}{3})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 8)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8.1$ في العبارة.

$f'' (- 8.1) = - 5 {(- 8.1)}^{4} - 40 {(- 8.1)}^{3}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 8.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 8.1) = - 5 \cdot 4304.6721 - 40 {(- 8.1)}^{3}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 5$ في $4304.6721$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 - 40 {(- 8.1)}^{3}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 8.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 - 40 \cdot - 531.441$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 40$ في $- 531.441$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 + 21257.64$

خطوة 6.2.2

أضف $- 21523.3605$ و $21257.64$ .

$f'' (- 8.1) = - 265.7205$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 265.7205$ .

$- 265.7205$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 8.1$ يساوي $- 265.7205$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 8)$

تناقص خلال $(- \infty, - 8)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 8, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f'' (- 4) = - 5 {(- 4)}^{4} - 40 {(- 4)}^{3}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 4) = - 5 \cdot 256 - 40 {(- 4)}^{3}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 5$ في $256$ .

$f'' (- 4) = - 1280 - 40 {(- 4)}^{3}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4) = - 1280 - 40 \cdot - 64$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $- 40$ في $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 2560$

خطوة 7.2.2

أضف $- 1280$ و $2560$ .

$f'' (- 4) = 1280$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $1280$ .

$1280$

خطوة 7.3

في $- 4$ ، المشتق الثاني هو $1280$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 8, 0)$ .

تزايد خلال $(- 8, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = - 5 {(0.1)}^{4} - 40 {(0.1)}^{3}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (0.1) = - 5 \cdot 0.0001 - 40 {(0.1)}^{3}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 5$ في $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 40 {(0.1)}^{3}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 40 \cdot 0.001$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 40$ في $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.04$

خطوة 8.2.2

اطرح $0.04$ من $- 0.0005$ .

$f'' (0.1) = - 0.0405$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.0405$ .

$- 0.0405$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $0.1$ يساوي $- 0.0405$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, \infty)$

تناقص خلال $(0, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 8, \frac{65536}{3}), (0, 0)$ .

$(- 8, \frac{65536}{3}), (0, 0)$

خطوة 10