حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

خطوة 2

اكتب $\cos (m x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}]$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم $\cos (m x)$ على $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

خطوة 3.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (n x)}$ إلى $\csc (n x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \csc (n x)]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (m x)$ و $g (x) = \csc (n x)$ .

$\cos (m x) \frac{d}{d x} [\csc (n x)] + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = n x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $n x$ .

$\cos (m x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

خطوة 5.2

مشتق $\csc (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\cos (m x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $n x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $n$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $n x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \cdot 1)) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

خطوة 6.3

اضرب $n$ في $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = m x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [m x])$

خطوة 7.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [m x])$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) \frac{d}{d x} [m x])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $m$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $m x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \cdot 1))$

خطوة 8.3

اضرب $m$ في $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) m)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- n \cos (m x) \cot (n x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

خطوة 9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أعِد كتابة $\cot (n x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

خطوة 9.2.2

اضرب $- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اجمع $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ و $n$ .

$- \frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cos (m x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

خطوة 9.2.2.2

اجمع $\cos (m x)$ و $\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) (\cos (n x) n)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

خطوة 9.2.3

أعِد كتابة $\csc (n x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

خطوة 9.2.4

اضرب $- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1

اضرب $\frac{1}{\sin (n x)}$ في $\frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

خطوة 9.2.4.2

ارفع $\sin (n x)$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

خطوة 9.2.4.3

ارفع $\sin (n x)$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin^{1} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

خطوة 9.2.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{{\sin (n x)}^{1 + 1}} - m \csc (n x) \sin (m x)$

خطوة 9.2.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

خطوة 9.2.5

أعِد كتابة $\csc (n x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \frac{1}{\sin (n x)} \sin (m x)$

خطوة 9.2.6

اجمع $\frac{1}{\sin (n x)}$ و $m$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{m}{\sin (n x)} \sin (m x)$

خطوة 9.2.7

اجمع $\sin (m x)$ و $\frac{m}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

خطوة 9.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أخرِج العامل $\sin (n x)$ من $\sin^{2} (n x)$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

خطوة 9.3.2

افصِل الكسور.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

خطوة 9.3.3

أعِد كتابة $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

خطوة 9.3.4

اكتب $\cos (m x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

خطوة 9.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.5.1

اقسِم $\cos (m x)$ على $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

خطوة 9.3.5.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (n x)}$ إلى $\csc (n x)$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

خطوة 9.3.6

افصِل الكسور.

$- (\frac{n}{1} \cdot \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

خطوة 9.3.7

حوّل من $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ إلى $\cot (n x)$ .

$- (\frac{n}{1} \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

خطوة 9.3.8

اقسِم $n$ على $1$ .

$- (n \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

خطوة 9.3.9

افصِل الكسور.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} \cdot \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)})$

خطوة 9.3.10

أعِد كتابة $\frac{\sin (m x)}{\sin (n x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

خطوة 9.3.11

اكتب $\sin (m x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\frac{\sin (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}))$

خطوة 9.3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.12.1

اقسِم $\sin (m x)$ على $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

خطوة 9.3.12.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (n x)}$ إلى $\csc (n x)$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \csc (n x)))$

خطوة 9.3.13

اقسِم $m$ على $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$

خطوة 9.4

أعِد ترتيب العوامل في $- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m \sin (m x) \csc (n x)$