حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) (2 x) d x$

خطوة 2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \cos (x) x d x$

خطوة 3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x)$

خطوة 4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x)$

خطوة 6

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

احسِب قيمة $x^{2} (- \cos (x))$ في $\frac{π}{2}$ وفي $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

خطوة 7.1.2

احسِب قيمة $x \sin (x)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

خطوة 7.1.3

احسِب قيمة $- \cos (x)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

خطوة 7.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) - 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

خطوة 7.1.4.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

خطوة 7.1.4.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 \cos (0) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

خطوة 7.1.4.4

اضرب $0$ في $\cos (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

خطوة 7.1.4.5

أضف ${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))$ و $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

خطوة 7.1.4.6

اجمع $\frac{π}{2}$ و $\sin (\frac{π}{2})$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

خطوة 7.1.4.7

اضرب $0$ في $\sin (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

خطوة 7.1.4.8

أضف $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ و $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

خطوة 7.1.4.9

لكتابة $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 7.1.4.10

اجمع $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ و $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2})$

خطوة 7.1.4.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

خطوة 7.1.4.12

اضرب $2$ في $- 1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

خطوة 7.1.4.13

اجمع $2$ و $\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

خطوة 7.1.4.14

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.14.1

ألغِ العامل المشترك.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

خطوة 7.1.4.14.2

اقسِم $π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ على $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

خطوة 7.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

خطوة 7.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))$

خطوة 7.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

خطوة 7.2.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} \cdot 0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

خطوة 7.2.6

اضرب ${(\frac{π}{2})}^{2}$ في $0$ .

$0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

خطوة 7.2.7

اضرب $π$ في $1$ .

$0 + π - 2 (- 0 + 1)$

خطوة 7.2.8

أضف $0$ و $π$ .

$π - 2 (- 0 + 1)$

خطوة 7.2.9

اضرب $- 1$ في $0$ .

$π - 2 (0 + 1)$

خطوة 7.2.10

أضف $0$ و $1$ .

$π - 2 \cdot 1$

خطوة 7.2.11

اضرب $- 2$ في $1$ .

$π - 2$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$π - 2$

الصيغة العشرية:

$1.14159265 \dots$