حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2})) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = \sec (6 x)$ . إذن $d u_{2} = 6 \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u_{2} = \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = \sec (6 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (6 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (6 x)]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 4.1.2.2

مشتق $\sec (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 4.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $6 x$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)$

خطوة 4.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1

اضرب $6$ في $1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6$

خطوة 4.1.3.3.2

انقُل $6$ إلى يسار $\sec (6 x) \tan (6 x)$ .

$6 \sec (6 x) \tan (6 x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$3 \int \frac{1}{6} d u_{2} + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

خطوة 6

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{3} = 2 x^{2}$ . إذن $d u_{3} = 4 x d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{3} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{3} = 2 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

خطوة 7.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x)$

خطوة 7.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $u_{2}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

خطوة 8.2

اجمع $\csc^{2} (u_{3})$ و $\frac{1}{4}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \frac{\csc^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3})$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $- 5$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) + \frac{- 5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

خطوة 10.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

خطوة 11

بما أن مشتق $- \cot (u_{3})$ هو $\csc^{2} (u_{3})$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (u_{3})$ هو $- \cot (u_{3})$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3}) + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$\frac{u_{2}}{2} - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3})) + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + 1 (\frac{5}{4}) \cot (u_{3}) + C$

خطوة 12.2.2

اضرب $\frac{5}{4}$ في $1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5}{4} \cot (u_{3}) + C$

خطوة 12.2.3

اجمع $\frac{5}{4}$ و $\cot (u_{3})$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

خطوة 13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sec (6 x)$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

خطوة 13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $2 x^{2}$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (2 x^{2})}{4} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \sec (6 x) + \frac{5}{4} \cot (2 x^{2}) + C$