حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y' = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

قسّم الكسر $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

خطوة 2.1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

خطوة 2.1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

خطوة 2.2

أخرِج عامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{x}{2 y}$

خطوة 2.2.2

أعِد ترتيب $\frac{y}{x}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $f (\frac{y}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج عامل $\frac{x}{y}$ من $\frac{x}{2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أخرِج العامل $\frac{x}{y}$ من $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد ترتيب $\frac{x}{y}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{x}{y}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

خطوة 3

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 5

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 6

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

خطوة 7.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

خطوة 7.1.1.1.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V}$

خطوة 7.1.1.2

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

خطوة 7.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 7.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 7.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.2

لكتابة $- V$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.3.1

اجمع $- V$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.1

أخرِج العامل $V$ من $V - V \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.1.1

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.1.2

أخرِج العامل $V$ من $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.1.3

أخرِج العامل $V$ من $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.1.4

أخرِج العامل $V$ من $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.1.3

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.4.1

لكتابة $- \frac{V}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.2

اضرب $\frac{V}{2}$ في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.4.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.4.2

أعِد كتابة $V \cdot V$ بالصيغة $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.4.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 7.1.1.3.3.6

اضرب $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

خطوة 7.1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 7.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 7.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

اضرب $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

خطوة 7.1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.2.1

أخرِج العامل $2 V$ من $2 V x$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

خطوة 7.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

خطوة 7.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

خطوة 7.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $(1 + V) (1 - V)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

خطوة 7.1.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 7.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.2

لنفترض أن $u = (1 + V) (1 - V)$ . إذن $d u = - 2 V d V$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

افترض أن $u = (1 + V) (1 - V)$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $(1 + V) (1 - V)$ .

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

خطوة 7.2.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ هو $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ حيث $f (V) = 1 + V$ و $g (V) = 1 - V$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

خطوة 7.2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - V$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

خطوة 7.2.2.2.1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $V$ هو $0$ .

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

خطوة 7.2.2.2.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

خطوة 7.2.2.2.1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، إذن مشتق $- V$ بالنسبة إلى $V$ يساوي $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

خطوة 7.2.2.2.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

خطوة 7.2.2.2.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

خطوة 7.2.2.2.1.3.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $1 + V$ .

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

خطوة 7.2.2.2.1.3.6.3

أعِد كتابة $- 1 (1 + V)$ بالصيغة $- (1 + V)$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

خطوة 7.2.2.2.1.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + V$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

خطوة 7.2.2.2.1.3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $V$ هو $0$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

خطوة 7.2.2.2.1.3.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

خطوة 7.2.2.2.1.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

خطوة 7.2.2.2.1.3.11

اضرب $1 - V$ في $1$ .

$- (1 + V) + 1 - V$

خطوة 7.2.2.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

خطوة 7.2.2.2.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.4.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 - V + 1 - V$

خطوة 7.2.2.2.1.4.2.2

أضف $- 1$ و $1$ .

$- V + 0 - V$

خطوة 7.2.2.2.1.4.2.3

أضف $- V$ و $0$ .

$- V - V$

خطوة 7.2.2.2.1.4.2.4

اطرح $V$ من $- V$ .

$- 2 V$

خطوة 7.2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.3.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.7.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.9

بسّط.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(1 + V) (1 - V)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 7.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

وسّع $(1 + | x |) (1 - | x |)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2.2.1.2

اضرب $- | x |$ في $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2.2.1.3

اضرب $| x |$ في $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2.2.1.5

اضرب $| x |$ في $| x |$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.5.1

انقُل $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2.2.1.5.2

اضرب $| x |$ في $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2.2.2

أضف $- | x |$ و $| x |$ .

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.2.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 7.3.3

أضف $\ln (| x |)$ إلى كلا المتعادلين.

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

خطوة 7.3.4

اقسِم كل حد في $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 7.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 7.3.4.2.2

اقسِم $\ln (| 1 - V^{2} |)$ على $1$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 7.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 7.3.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 7.3.4.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

خطوة 7.3.4.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (| x |)$ بالصيغة $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

خطوة 7.3.5

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

خطوة 7.3.6

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

خطوة 7.3.7

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

خطوة 7.3.8

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

خطوة 7.3.9

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

خطوة 7.3.10

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

خطوة 7.3.11

أعِد كتابة $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

خطوة 7.3.12

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.12.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ .

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

خطوة 7.3.12.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

خطوة 7.3.12.3

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

خطوة 7.3.12.4

اقسِم كل حد في $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ على $- x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.12.4.1

اقسِم كل حد في $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ على $- x$ .

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 7.3.12.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.12.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 7.3.12.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.12.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 7.3.12.4.2.2.2

اقسِم $V^{2}$ على $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 7.3.12.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.12.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.12.4.3.1.1

بسّط $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 7.3.12.4.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 7.3.12.4.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.12.4.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 7.3.12.4.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

خطوة 7.3.12.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

خطوة 7.3.12.6

بسّط $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.12.6.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

خطوة 7.3.12.6.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

خطوة 7.3.12.6.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 7.3.12.6.4

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 7.3.12.6.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.12.6.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

خطوة 7.3.12.6.5.2

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

خطوة 7.3.12.6.5.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

خطوة 7.3.12.6.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.3.12.6.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

خطوة 7.3.12.6.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.12.6.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.3.12.6.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.3.12.6.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.12.6.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.12.6.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.12.6.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

خطوة 7.3.12.6.5.6.5

بسّط.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

خطوة 7.3.12.6.6

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

خطوة 7.3.12.6.7

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

خطوة 7.4

بسّط ثابت التكامل.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

خطوة 8

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

خطوة 9.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$