حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y' - 2 y = 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أضف $2 y$ إلى كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$

خطوة 2.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

خطوة 2.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

خطوة 2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + 2 y}{x}$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1 + 2 y}{x}$

خطوة 2.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1 + 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot (1 + y)}{x}$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $2$ في $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 + y)}{x}$

خطوة 2.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{2 (1 + y)}{x}$

خطوة 2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $1 + y$ من $2 (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

خطوة 2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

خطوة 2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

خطوة 2.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{2}{x} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لنفترض أن $u = 1 + y$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

افترض أن $u = 1 + y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 3.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.2.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 3.2.1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 3.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 3.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 3.3.3

بسّط.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| 1 + y |) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

خطوة 4.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (x^{2}) = C$

خطوة 4.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$

خطوة 4.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}})} = e^{C}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + y |}{x^{2}}$

خطوة 4.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$

خطوة 4.5.2

اضرب كلا الطرفين في $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

خطوة 4.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

خطوة 4.5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 1 + y | = e^{C} x^{2}$

خطوة 4.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} x^{2}$ .

$| 1 + y | = x^{2} e^{C}$

خطوة 4.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm x^{2} e^{C}$

خطوة 4.5.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm x^{2} e^{C} - 1$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm x^{2} C - 1$

خطوة 5.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C x^{2} - 1$