حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

خطوة 1

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot 1}{3 x}$

خطوة 1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{3 x}$

خطوة 2

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{x}$

خطوة 3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot \frac{x + 3}{x + 3}}{x}$

خطوة 3.2

اجمع $- 1$ و $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} + \frac{- (x + 3)}{x + 3}}{x}$

خطوة 3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}}{x}$

خطوة 4

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{x + 3} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 - (x + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

خطوة 5.1.2

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

احسِب قيمة حد $3 - (x + 3)$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - (0 + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

خطوة 5.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

خطوة 5.1.2.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

خطوة 5.1.2.3

اطرح $3$ من $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x + 3 \cdot lim_{x \to 0} x}$

خطوة 5.1.3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

خطوة 5.1.3.3

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

خطوة 5.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

خطوة 5.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot 0}$

خطوة 5.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.5.1

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot 0}$

خطوة 5.1.3.5.2

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 5.1.3.5.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 5.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 5.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

خطوة 5.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - (x + 3)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

خطوة 5.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

خطوة 5.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (x + 3)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

خطوة 5.3.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

خطوة 5.3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

خطوة 5.3.4.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

خطوة 5.3.4.5

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

خطوة 5.3.4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

خطوة 5.3.5

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

خطوة 5.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 3$ و $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

خطوة 5.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

خطوة 5.3.8

اضرب $x + 3$ في $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

خطوة 5.3.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

خطوة 5.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

خطوة 5.3.11

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + 0)}$

خطوة 5.3.12

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \cdot 1}$

خطوة 5.3.13

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x}$

خطوة 5.3.14

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 3}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة حد $- 1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

خطوة 6.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 3}$

خطوة 6.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

خطوة 6.5

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 3}$

خطوة 7

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 3}$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{0 + 3}$

خطوة 8.1.2

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{3}$

خطوة 8.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

خطوة 8.3

اضرب $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

خطوة 8.3.2

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{1}{9}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{9}$

الصيغة العشرية:

$- 0.\overline{1}$