حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x y - x^{2} - 2 = 2 y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4 x y - x^{2} - 2) = \frac{d}{d x} (2 y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x y - x^{2} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (x y' + y) - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 (x y' + y) - 2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 (x y' + y) - 2 x + 0$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x y') + 4 y - 2 x + 0$

خطوة 2.5.2

أضف $4 x y' + 4 y - 2 x$ و $0$ .

$4 x y' + 4 y - 2 x$

خطوة 2.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$4 x y' - 2 x + 4 y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 (y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 x y' - 2 x + 4 y = 4 y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $4 y y'$ من كلا المتعادلين.

$4 x y' - 2 x + 4 y - 4 y y' = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x y' + 4 y - 4 y y' = 2 x$

خطوة 5.2.2

اطرح $4 y$ من كلا المتعادلين.

$4 x y' - 4 y y' = 2 x - 4 y$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 x y' - 4 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 x y'$ .

$4 y' x - 4 y y' = 2 x - 4 y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $4 y'$ من $- 4 y y'$ .

$4 y' x + 4 y' (- y) = 2 x - 4 y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y' x + 4 y' (- y)$ .

$4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ على $4 (x - y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ على $4 (x - y)$ .

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 (x - y)$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

خطوة 5.4.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 y$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- y}{x - y}$

خطوة 5.4.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y}$

خطوة 5.4.3.2

لكتابة $- \frac{y}{x - y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 5.4.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 (x - y)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1

اضرب $\frac{y}{x - y}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{(x - y) \cdot 2}$

خطوة 5.4.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x - y)}$

خطوة 5.4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{x - y \cdot 2}{2 (x - y)}$

خطوة 5.4.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y' = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$