حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1

اكتب $\frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x^{2} + x + 1$ . إذن $d u = (2 x + 1) d x$ ، لذا $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x^{2} + x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 1 + 0$

خطوة 4.1.6

أضف $2 x + 1$ و $0$ .

$2 x + 1$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + x + 1$ .

$\ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$

خطوة 7

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$