حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (1 + x)$

خطوة 1

اكتب $\ln (1 + x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \ln (1 + x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \ln (1 + x) d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (1 + x)$ و $d v = 1$ .

$\ln (1 + x) x - \int x \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 5

اجمع $x$ و $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (1 + x) x - \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 6

اقسِم $x$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 6.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 6.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

خطوة 6.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

خطوة 6.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

خطوة 6.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\ln (1 + x) x - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (1 + x) x - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (1 + x) x - (x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 10

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 10.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 10.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 10.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - (\ln (| u |) + C))$

خطوة 12

بسّط.

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| u |) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \ln (1 + x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$