حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = \frac{3}{1 + x}$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{1 + x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

خطوة 4

انقُل $9$ إلى يسار $π$ .

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 1 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 1 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 5.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 5.3

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

خطوة 5.5

أضف $1$ و $3$ .

$u_{upper} = 4$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 6.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $4$ وفي $1$ .

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

خطوة 8.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

خطوة 8.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

خطوة 8.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

خطوة 8.2.5

أضف $- 1$ و $4$ .

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

خطوة 8.2.6

اجمع $\frac{3}{4}$ و $9$ .

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

خطوة 8.2.7

اضرب $3$ في $9$ .

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

خطوة 8.2.8

اجمع $\frac{27}{4}$ و $π$ .

$V = \frac{27 π}{4}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{27 π}{4}$

الصيغة العشرية:

$V = 21.20575041 \dots$

خطوة 10