حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sin (3 x + \frac{π}{6}) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + \frac{π}{6}]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

خطوة 3.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

بما أن $\frac{π}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 3.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

خطوة 4

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

خطوة 6

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

$\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x + \frac{π}{6}$ .

$- \frac{\cos (3 x + \frac{π}{6})}{3} + C$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$