حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- 3 y - x = 4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (- 3 y - x) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 y - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- 3 y' + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 y' - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 y' - 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 3 y' - 1$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 1 - 3 y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.2.4

اضرب $3$ في $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$12 y^{2} y' + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $2$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 (3 x^{2})$

خطوة 3.4.3

اضرب $3$ في $3$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 9 x^{2}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 1 - 3 y' = 9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $y'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y' = - 1 - 3 y'$

خطوة 5.2

أضف $3 y'$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y' = - 1$

خطوة 5.3

اطرح $9 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $12 y^{2} y'$ .

$y' (12 y^{2}) + 4 y y' + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $4 y y'$ .

$y' (12 y^{2}) + y' (4 y) + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $3 y'$ .

$y' (12 y^{2}) + y' (4 y) + y' \cdot 3 = - 1 - 9 x^{2}$

خطوة 5.4.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (12 y^{2}) + y' (4 y)$ .

$y' (12 y^{2} + 4 y) + y' \cdot 3 = - 1 - 9 x^{2}$

خطوة 5.4.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (12 y^{2} + 4 y) + y' \cdot 3$ .

$y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$ على $12 y^{2} + 4 y + 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$ على $12 y^{2} + 4 y + 3$ .

$\frac{y' (12 y^{2} + 4 y + 3)}{12 y^{2} + 4 y + 3} = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12 y^{2} + 4 y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (12 y^{2} + 4 y + 3)}{12 y^{2} + 4 y + 3} = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 1 - 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

خطوة 5.5.3.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

خطوة 5.5.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 9 x^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (9 x^{2})}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

خطوة 5.5.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (9 x^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + 9 x^{2})}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

خطوة 5.5.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1 + 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$