حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} {(x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

انقُل الأُس $2$ من ${(x + 5)}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

خطوة 1.1.2.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- 5$ .

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

خطوة 1.1.2.1.3

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- 5$ .

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- 5$ .

$\frac{{(- 5 + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

أضف $- 5$ و $5$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

خطوة 1.1.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- 5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5 x}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x)}^{2} + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5 x}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x}$

خطوة 1.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $- 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- 5$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 5 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x}$

خطوة 1.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- 5$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 5 \cdot - 5}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{0}{25 + 5 \cdot - 5}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

اضرب $5$ في $- 5$ .

$\frac{0}{25 - 25}$

خطوة 1.1.3.5.2

اطرح $25$ من $25$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.5.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x} = lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة ${(x + 5)}^{2}$ بالصيغة $(x + 5) (x + 5)$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.3

وسّع $(x + 5) (x + 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x + 5) + 5 (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.4.1.2

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.4.1.3

اضرب $5$ في $5$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 5 x + 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.4.2

أضف $5 x$ و $5 x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 10 x + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.7

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.9

اضرب $10$ في $1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.10

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.11

أضف $2 x + 10$ و $0$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

خطوة 1.3.12

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]}$

خطوة 1.3.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + \frac{d}{d x} [5 x]}$

خطوة 1.3.14

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.14.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.14.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5 \cdot 1}$

خطوة 1.3.14.3

اضرب $5$ في $1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة حد $10$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5}$

خطوة 2.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5}$

خطوة 2.7

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $- 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- 5$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- 5$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{2 \cdot - 5 + 5}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احذِف العامل المشترك لـ $2 \cdot - 5 + 10$ و $2 \cdot - 5 + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $5$ من $2 \cdot - 5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1) + 10}{2 \cdot - 5 + 5}$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1) + 5 \cdot 2}{2 \cdot - 5 + 5}$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (2 \cdot - 1) + 5 (2)$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{2 \cdot - 5 + 5}$

خطوة 4.1.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أخرِج العامل $5$ من $2 \cdot - 5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1) + 5}$

خطوة 4.1.4.2

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1) + 5 (1)}$

خطوة 4.1.4.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (2 \cdot - 1) + 5 (1)$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1 + 1)}$

خطوة 4.1.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1 + 1)}$

خطوة 4.1.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot - 1 + 2}{2 \cdot - 1 + 1}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 + 2}{2 \cdot - 1 + 1}$

خطوة 4.2.2

أضف $- 2$ و $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot - 1 + 1}$

خطوة 4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 + 1}$

خطوة 4.3.2

أضف $- 2$ و $1$ .

$\frac{0}{- 1}$

خطوة 4.4

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$0$