حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{2 x}$ و $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $(e^{x} + 1) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((e^{x} + 1) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

اضرب $e^{2 x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{x} e^{2 x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{x + 2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.3

أضف $x$ و $2 x$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 e^{x} + 2 \cdot 1) e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1.1

اضرب $e^{x}$ في $e^{2 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1.1.1

انقُل $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} e^{x}) + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 e^{2 x + x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.3.1.1.3

أضف $2 x$ و $x$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.3.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.3.2

اطرح $e^{3 x}$ من $2 e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$