حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y - y^{2} + x + x^{2} = - 2 y^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y - y^{2} + x + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - y^{2} + x + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$y' - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y' - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y' - 2 y y' + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y' - 2 y y' + 1 + 2 x$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$- 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3

اضرب $3$ في $- 2$ .

$- 6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- 6 y^{2} y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 = - 6 y^{2} y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $6 y^{2} y'$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 + 6 y^{2} y' = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$- 2 y y' + y' + 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x$

خطوة 5.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

خطوة 5.3.2

ارفع $y'$ إلى القوة $1$ .

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $6 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

خطوة 5.3.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

خطوة 5.3.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2})$ .

$y' (- 2 y + 1 + 6 y^{2}) = - 2 x - 1$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ على $6 y^{2} - 2 y + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ على $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 2 x - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 5.5.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 5.5.3.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 5.5.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 5.5.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.5.1

أعِد كتابة $- (2 x + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 5.5.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$