حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + y^{2}})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ في صورة ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \ln (y)$ و $g (y) = x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ و $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 9.3

انقُل ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 9.4

اضرب $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 11

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 12

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (2 y)$

خطوة 14

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} y$

خطوة 14.2

اجمع $\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ و $y$ .

$\frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 14.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 14.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$