حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int {(1 + x^{2})}^{2} \cdot 6 x d x$

خطوة 1

انقُل $6$ إلى يسار ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\int 6 {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

خطوة 2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 1 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 3.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$6 \int u^{2} \frac{1}{2} d u$

خطوة 4

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{2}}{2} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{2} d u)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{2} d u$

خطوة 6.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{2} d u$

خطوة 6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{2} d u$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{2} d u$

خطوة 6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} \int u^{2} d u$

خطوة 6.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 \int u^{2} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

خطوة 8.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

خطوة 8.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 u^{3} + C$

خطوة 8.2.3

اضرب $u^{3}$ في $1$ .

$u^{3} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

${(1 + x^{2})}^{3} + C$