حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . إذن $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

خطوة 1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = e^{- 0}$

خطوة 1.3.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

خطوة 1.3.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{upper} = e^{- 1^{3}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

خطوة 1.5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = e^{- 1}$

خطوة 1.5.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{3} u_{2}$ في $\frac{1}{e}$ وفي $1$ .

$(- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $\frac{1}{e}$ في $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 4.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $e$ .

$- \frac{1}{3 \cdot e} + \frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 4.2.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$- \frac{1}{3 e} + \frac{1}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{3 e} + \frac{1}{3}$

الصيغة العشرية:

$0.21070685 \dots$

خطوة 6