حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- 4 - x^{2} = x y^{2} + y^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (- 4 - x^{2}) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + y^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 2.3

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y^{2} + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.6

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 3 y^{2} y'$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{2} + 2 x y y' + 3 y^{2} y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 2 x = y^{2} + 2 x y y' + 3 y^{2} y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{2} + 2 x y y' + 3 y^{2} y' = - 2 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' + 3 y^{2} y' = - 2 x$

خطوة 5.2

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x y y' + 3 y^{2} y' = - 2 x - y^{2}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y y'$ من $2 x y y' + 3 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y y'$ من $2 x y y'$ .

$y y' (2 x) + 3 y^{2} y' = - 2 x - y^{2}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y y' (2 x) + y y' (3 y) = - 2 x - y^{2}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y y'$ من $y y' (2 x) + y y' (3 y)$ .

$y y' (2 x + 3 y) = - 2 x - y^{2}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y y' (2 x + 3 y) = - 2 x - y^{2}$ على $y (2 x + 3 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y y' (2 x + 3 y) = - 2 x - y^{2}$ على $y (2 x + 3 y)$ .

$\frac{y y' (2 x + 3 y)}{y (2 x + 3 y)} = \frac{- 2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (2 x + 3 y)}{y (2 x + 3 y)} = \frac{- 2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (2 x + 3 y)}{2 x + 3 y} = \frac{- 2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x + 3 y)}{2 x + 3 y} = \frac{- 2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y}{2 x + 3 y}$

خطوة 5.4.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} - \frac{y}{2 x + 3 y}$

خطوة 5.4.3.2

لكتابة $- \frac{y}{2 x + 3 y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} - \frac{y}{2 x + 3 y} \cdot \frac{y}{y}$

خطوة 5.4.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $y (2 x + 3 y)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1

اضرب $\frac{y}{2 x + 3 y}$ في $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} - \frac{y \cdot y}{(2 x + 3 y) y}$

خطوة 5.4.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(2 x + 3 y) y$ .

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} - \frac{y \cdot y}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot y}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3.5

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.5.1

انقُل $y$ .

$y' = \frac{- 2 x - (y \cdot y)}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3.5.2

اضرب $y$ في $y$ .

$y' = \frac{- 2 x - y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y^{2})}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{- (2 x + y^{2})}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.9.1

أعِد كتابة $- (2 x + y^{2})$ بالصيغة $- 1 (2 x + y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y^{2})}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 5.4.3.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x + y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$