حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

خطوة 1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ و $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

خطوة 6.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ في $e$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

خطوة 6.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

خطوة 6.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

خطوة 6.2.2.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

خطوة 6.2.2.4

لكتابة $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 6.2.2.5

اجمع $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 6.2.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 6.2.2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 7.1.1.1.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 7.1.1.2

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 7.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 7.1.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 7.1.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 7.1.1.4

أعِد كتابة $e^{2} - 1$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 7.1.1.4.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = e$ و $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

خطوة 7.1.2

$e$ تساوي تقريبًا $2.71828182$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

خطوة 7.1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

خطوة 7.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

خطوة 7.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

خطوة 7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

وسّع $(e + 1) (e - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

خطوة 7.4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

خطوة 7.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

خطوة 7.4.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $e$ .

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

خطوة 7.4.2.1.2

أعِد كتابة $- 1 e$ بالصيغة $- e$ .

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

خطوة 7.4.2.1.3

اضرب $e$ في $1$ .

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

خطوة 7.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

خطوة 7.4.2.2

أضف $- e$ و $e$ .

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

خطوة 7.4.2.3

أضف $e e$ و $0$ .

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

خطوة 7.4.3

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{e e + 1}{2}$

خطوة 7.4.4

اضرب $e e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.4.1

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

خطوة 7.4.4.2

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

خطوة 7.4.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

خطوة 7.4.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

الصيغة العشرية:

$4.19452804 \dots$

خطوة 9