حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{6}{2 x + 3 x^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int \frac{1}{2 x + 3 x^{2}} d x$

خطوة 2

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x + 3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot 2 + 3 x^{2}}$

خطوة 2.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 2 + x (3 x)}$

خطوة 2.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 2 + x (3 x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (2 + 3 x)}$

خطوة 2.1.1.4

اضرب $x$ في $2 + 3 x$ .

$\frac{1}{x (2 + 3 x)}$

خطوة 2.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (2 + 3 x)$ .

$\frac{1 (x (2 + 3 x))}{x (2 + 3 x)} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x (2 + 3 x))}{x (2 + 3 x)} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 + 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.6.1.2

اقسِم $A (2 + 3 x)$ على $1$ .

$1 = A (2 + 3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A \cdot 2 + A (3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.6.3

انقُل $2$ إلى يسار $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.6.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = 2 \cdot A + 3 A x + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 + 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = 2 A + 3 A x + \frac{B (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

خطوة 2.1.6.5.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$1 = 2 A + 3 A x + (B) (x)$

$1 = 2 A + 3 A x + B x$

خطوة 2.1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.7.1

انقُل $A$ .

$1 = 2 A + 3 x A + B x$

خطوة 2.1.7.2

أعِد ترتيب $B$ و $x$ .

$1 = 2 A + 3 x A + B x$

خطوة 2.1.7.3

انقُل $2 A$ .

$1 = 3 x A + B x + 2 A$

خطوة 2.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = 3 A + B$

خطوة 2.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = 2 A$

خطوة 2.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

خطوة 2.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = 2 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = 3 A + B$

خطوة 2.3.1.2

اقسِم كل حد في $2 A = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $2 A = 1$ على $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

خطوة 2.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

خطوة 2.3.1.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

خطوة 2.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $\frac{1}{2}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = 3 A + B$ بـ $\frac{1}{2}$ .

$0 = 3 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = \frac{3}{2} + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{3}{2} + B = 0$ .

$\frac{3}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.3.2

اطرح $\frac{3}{2}$ من كلا المتعادلين.

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - \frac{3}{2} A = \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = - \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}$

خطوة 2.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 + 3 x}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

خطوة 2.5.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

خطوة 2.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 + 3 x}$

خطوة 2.5.4

اضرب $\frac{1}{2 + 3 x}$ في $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{(2 + 3 x) \cdot 2}$

خطوة 2.5.5

انقُل $2$ إلى يسار $2 + 3 x$ .

$6 \int \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$6 (\int \frac{1}{2 x} d x + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

خطوة 7

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 + 3 x} d x))$

خطوة 8

لنفترض أن $u = 2 + 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = 2 + 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

خطوة 8.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 8.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 8.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

خطوة 8.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$0 + 3$

خطوة 8.1.4

أضف $0$ و $3$ .

$3$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u)$

خطوة 9.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u)$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{3}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11.2

اضرب $3$ في $2$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11.3

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

خطوة 13

بسّط.

$6 (\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + 3 x$ .

$6 (\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 + 3 x |)) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{\ln (| x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 + 3 x |)) + C$

خطوة 15.1.2

اجمع $\ln (| 2 + 3 x |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (| x |)}{2} - \frac{\ln (| 2 + 3 x |)}{2}) + C$

خطوة 15.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 \frac{\ln (| x |) - \ln (| 2 + 3 x |)}{2} + C$

خطوة 15.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

خطوة 15.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 (3) \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

خطوة 15.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

خطوة 15.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 \ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |}) + C$