حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- x y^{2} + x + 4 - y^{3} = 0$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (- x y^{2} + x + 4 - y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x y^{2} + x + 4 - y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$- (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$- (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.2.7

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (3 y^{2} y')$

خطوة 2.4.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - 3 y^{2} y'$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- (2 x y y') - y^{2} + 1 + 0 - 3 y^{2} y'$

خطوة 2.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (x y y') - y^{2} + 1 + 0 - 3 y^{2} y'$

خطوة 2.5.2.2

أضف $- 2 x y y' - y^{2} + 1$ و $0$ .

$- 2 x y y' - y^{2} + 1 - 3 y^{2} y'$

خطوة 2.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- y^{2} - 2 x y y' - 3 y^{2} y' + 1$

خطوة 3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- y^{2} - 2 x y y' - 3 y^{2} y' + 1 = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أضف $y^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 x y y' - 3 y^{2} y' + 1 = y^{2}$

خطوة 5.1.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x y y' - 3 y^{2} y' = y^{2} - 1$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y y'$ من $- 2 x y y' - 3 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y y'$ من $- 2 x y y'$ .

$y y' (- 2 x) - 3 y^{2} y' = y^{2} - 1$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y y'$ من $- 3 y^{2} y'$ .

$y y' (- 2 x) + y y' (- 3 y) = y^{2} - 1$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y y'$ من $y y' (- 2 x) + y y' (- 3 y)$ .

$y y' (- 2 x - 3 y) = y^{2} - 1$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $y y' (- 2 x - 3 y) = y^{2} - 1$ على $y (- 2 x - 3 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $y y' (- 2 x - 3 y) = y^{2} - 1$ على $y (- 2 x - 3 y)$ .

$\frac{y y' (- 2 x - 3 y)}{y (- 2 x - 3 y)} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (- 2 x - 3 y)}{y (- 2 x - 3 y)} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (- 2 x - 3 y)}{- 2 x - 3 y} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2 x - 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 2 x - 3 y)}{- 2 x - 3 y} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y}{- 2 x - 3 y} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y}{- 2 x - 3 y} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.2

لكتابة $\frac{y}{- 2 x - 3 y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y}{- 2 x - 3 y} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(- 2 x - 3 y) y$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

اضرب $\frac{y}{- 2 x - 3 y}$ في $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{(- 2 x - 3 y) y} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(- 2 x - 3 y) y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x - 3 y)} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y \cdot y - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.5.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.5.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 1^{2}}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.5.6

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- 2 x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- (2 x) - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- (2 x) - (3 y))}$

خطوة 5.3.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- (2 x + 3 y))}$

خطوة 5.3.3.6.4

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.4.1

أعِد كتابة $- (2 x + 3 y)$ بالصيغة $- 1 (2 x + 3 y)$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- 1 (2 x + 3 y))}$

خطوة 5.3.3.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (2 x + 3 y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (2 x + 3 y)}$