حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 1 - 4 x^{2}$ . إذن $d u = - 8 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 1 - 4 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$0 - 8 x$

خطوة 2.1.4

اطرح $8 x$ من $0$ .

$- 8 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

خطوة 2.5.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

خطوة 2.5.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

خطوة 2.5.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

خطوة 2.5.1.4.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

خطوة 2.5.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

خطوة 2.5.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

خطوة 2.5.1.5

أعِد كتابة $- 1 (\frac{1}{4})$ بالصيغة $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

خطوة 2.5.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 2.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

خطوة 2.5.4

اطرح $1$ من $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{8}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

خطوة 3.3

انقُل $8$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$8 (- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$- 8 (\frac{1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $- 8$ .

$\frac{- 8}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $8$ من $- 8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.1.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 7.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 7.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 7.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 7.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $\frac{3}{4}$ وفي $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

خطوة 9.2.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{4}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)$

خطوة 10.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)$

خطوة 10.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

خطوة 10.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

خطوة 10.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)$

خطوة 10.1.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

خطوة 10.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

خطوة 10.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- (3^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3^{\frac{1}{2}} - - 2$

خطوة 10.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

الصيغة العشرية:

$0.26794919 \dots$

خطوة 12