حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 1$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

خطوة 1.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 1.9.2.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.2.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.2

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.3

اطرح $2 x$ من $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

خطوة 2.7.4.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.7.4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.7.4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}}$

خطوة 2.7.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

خطوة 4

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 5

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6