حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{2 + \sqrt{x}})}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}$ في صورة ${(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 1.3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 1.4

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 1.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 1.5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 1.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . إذن $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ، لذا $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 2.1.3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 2.1.3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 2.1.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 2.1.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

خطوة 2.1.3.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

خطوة 2.1.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.4.2.2

أضف $0$ و $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 2 + 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = 2 + 1$

خطوة 2.3.2

أضف $2$ و $1$ .

$u_{lower} = 3$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 2 + 4^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u_{upper} = 2 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.5.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.5.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.5.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = 2 + 2^{1}$

خطوة 2.5.1.4

احسِب قيمة الأُس.

$u_{upper} = 2 + 2$

خطوة 2.5.2

أضف $2$ و $2$ .

$u_{upper} = 4$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{3}^{4} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{3}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{4})$

خطوة 5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{3}^{4})$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $4$ وفي $3$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.5

اضرب $2$ في $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.6

انقُل $3^{1}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

خطوة 6.2.7

اضرب $3^{\frac{3}{2}}$ في $3^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

انقُل $3^{- 1}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

خطوة 6.2.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

خطوة 6.2.7.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

خطوة 6.2.7.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

خطوة 6.2.7.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

خطوة 6.2.7.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

خطوة 6.2.7.6.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 6.2.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{16}{3}) + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2

اضرب $2 (\frac{16}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $2$ و $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.2

اضرب $2$ في $16$ .

$\frac{32}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

الصيغة العشرية:

$3.73846343 \dots$

خطوة 9