حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 3 x - 1$ و $g (x) = x^{2} + 3$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

اضرب $3$ في $1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $3$ و $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2} + 3$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

اضرب $3$ في $3$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.2.1

انقُل $x$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.3

اضرب $3$ في $- 2$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.4.2

اطرح $6 x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 3 x^{2} + 9 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2}) + 2 x + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $2 x$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x) + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.9

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $- 1 (- 9)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.11

أعِد كتابة $- (3 x^{2} - 2 x - 9)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} (- \frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

خطوة 5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $2$ و $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} (- \frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3}$ في $\frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.3

اضرب $x^{2} + 3$ في ${(x^{2} + 3)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $x^{2} + 3$ في ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ارفع $x^{2} + 3$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{1} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{1 + 2}}$

خطوة 5.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$