حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - \frac{1}{4} x^{- 4} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{4} x^{- 4} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 4$ .

$- \frac{1}{4} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$4 (\frac{1}{4}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

خطوة 1.2.4

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

خطوة 1.2.5

اجمع $\frac{4}{4}$ و $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

خطوة 1.2.6

انقُل $x^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

خطوة 1.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

خطوة 1.2.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

خطوة 1.3

بما أن $- \frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{1}{16}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{1}{4} (4 x^{3})$

خطوة 1.4.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4}{4} x^{3}$

خطوة 1.4.4

اجمع $\frac{4}{4}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4 x^{3}}{4}$

خطوة 1.4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4 x^{3}}{4}$

خطوة 1.4.5.2

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + x^{3}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $\frac{1}{x^{5}}$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{5}} + x^{3}$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{5}}$ بالصيغة ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{5}$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$3 x^{2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5}$ .

$3 x^{2} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$3 x^{2} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

خطوة 2.2.4

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $5$ في $- 2$ .

$3 x^{2} - x^{- 10} (5 x^{4})$

خطوة 2.2.5

اضرب $5$ في $- 1$ .

$3 x^{2} - 5 x^{- 10} x^{4}$

خطوة 2.2.6

اضرب $x^{- 10}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

انقُل $x^{4}$ .

$3 x^{2} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

خطوة 2.2.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 x^{2} - 5 x^{4 - 10}$

خطوة 2.2.6.3

اطرح $10$ من $4$ .

$3 x^{2} - 5 x^{- 6}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

خطوة 2.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{x^{6}}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 5}{x^{6}}$

خطوة 2.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 3 x^{2} - \frac{5}{x^{6}}$