حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ , $[0, 1]$

خطوة 1

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[0, 1]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4}{x - 2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 2}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 2}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 1]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

خطوة 6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

خطوة 7

اضرب $4$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

خطوة 8

لنفترض أن $u = x - 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 8.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 8.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

خطوة 8.3

اطرح $2$ من $0$ .

$u_{lower} = - 2$

خطوة 8.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

خطوة 8.5

اطرح $2$ من $1$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 8.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 8.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

خطوة 10

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $- 1$ وفي $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

خطوة 11

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 1$ و $0$ تساوي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

خطوة 12.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 2$ و $0$ تساوي $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

خطوة 13

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

خطوة 13.2

أضف $1$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

خطوة 14

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

خطوة 14.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

خطوة 14.2

اضرب $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ في $1$ .

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

خطوة 15

بسّط $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

خطوة 16

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

خطوة 17

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

خطوة 18

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

خطوة 19