حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (5 e^{2 x} + \frac{1}{x}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int 5 e^{2 x} + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 5 e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $5$ .

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \ln (| x |) + C$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{5}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{5}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$