حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{5 + 2 x^{6}} (12 x^{5}) d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اجمع $12$ و $\frac{1}{5 + 2 x^{6}}$ .

$\int \frac{12}{5 + 2 x^{6}} \cdot x^{5} d x$

خطوة 1.2

اجمع $\frac{12}{5 + 2 x^{6}}$ و $x^{5}$ .

$\int \frac{12 x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

خطوة 2

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

خطوة 3

أعِد كتابة $x^{6}$ بالصيغة ${(x^{6})}^{1}$ .

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 {(x^{6})}^{1}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = x^{6}$ . إذن $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = x^{6}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$6 x^{5}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{5 + 2 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

$12 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{1}{5 + 2 u_{1}}$ في $\frac{1}{6}$ .

$12 \int \frac{1}{(5 + 2 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

خطوة 5.3

انقُل $6$ إلى يسار $5 + 2 u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{6 (5 + 2 u_{1})} d u_{1}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $12$ .

$\frac{12}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 8

لنفترض أن $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $5 + 2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + 2 u_{1}]$

خطوة 8.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + 2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 8.1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 8.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 8.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

خطوة 8.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 2$

خطوة 8.1.4

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 9.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11.3

اضرب $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 + 2 u_{1}$ .

$\ln (| 5 + 2 u_{1} |) + C$

خطوة 13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{6}$ .

$\ln (| 5 + 2 x^{6} |) + C$