حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \sec (2 x)$ . إذن $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \sec (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\sec (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

خطوة 1.1.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{lower} = \sec (2 \cdot 0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{6})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 (3)})$

خطوة 1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

خطوة 1.5.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

خطوة 1.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{3})$ هي $2$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{2}$

خطوة 3

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} u_{2}$ في $2$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2) - \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 3.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 - 1}{2}$

خطوة 3.2.6

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$