حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

خطوة 1

اكتب $(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ في صورة دالة.

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (t)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

خطوة 4

بما أن $d$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $d$ خارج التكامل.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

خطوة 5.3

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

خطوة 5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

خطوة 5.5

أضف $- 3$ و $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

خطوة 5.6

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

خطوة 5.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

خطوة 5.8

أضف $- 9$ و $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

خطوة 5.9

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

خطوة 5.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

خطوة 5.11

أضف $3$ و $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

خطوة 5.12

انقُل $12 t^{- 8}$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

خطوة 5.13

أعِد ترتيب $10 t^{- 2}$ و $4 t^{4}$ .

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

خطوة 7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{4}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

خطوة 9

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{- 2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $- t^{- 1}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

خطوة 11

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{- 8}$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $t^{5}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

خطوة 13.1.2

اجمع $t^{- 7}$ و $\frac{1}{7}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

خطوة 13.1.3

انقُل $t^{- 7}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

خطوة 13.2

بسّط.

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

خطوة 13.3

أعِد ترتيب الحدود.

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ .

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$