حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

خطوة 1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

خطوة 1.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ ومجموعهما $b = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 x$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $- 4$ في صورة $2$ زائد $- 6$

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

خطوة 1.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

خطوة 1.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

خطوة 1.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x + 2$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

خطوة 2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

خطوة 3

أكمِل المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وسّع $(- x + 2) (x + 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

خطوة 3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

خطوة 3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

خطوة 3.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1.1

انقُل $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

خطوة 3.1.2.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

خطوة 3.1.2.1.3

اضرب $2$ في $6$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

خطوة 3.1.2.2

أضف $- 6 x$ و $2 x$ .

$- x^{2} - 4 x + 12$

خطوة 3.2

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

خطوة 3.3

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

خطوة 3.4.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

خطوة 3.4.2.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot - 2$ بالصيغة $- - 2$ .

$d = - - 2$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$d = 2$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(- 4)}^{2}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1.1

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 3.5.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 3.5.2.1.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 3.5.2.1.1.4

اضرب $4^{2}$ في $1$ .

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 3.5.2.1.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4^{2}$ .

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

خطوة 3.5.2.1.1.6

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

خطوة 3.5.2.1.2

اضرب $- (- 1 \cdot 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 12 - - 4$

خطوة 3.5.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$e = 12 + 4$

خطوة 3.5.2.2

أضف $12$ و $4$ .

$e = 16$

خطوة 3.6

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x + 2)}^{2} + 16$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب $- u^{2}$ و $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arcsin (\frac{u}{4})$

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

خطوة 7

أعِد كتابة $8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ بالصيغة $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

خطوة 9.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

خطوة 9.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

خطوة 9.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$