حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x (1 + \ln (x))$

خطوة 1

اكتب $4 x (1 + \ln (x))$ في صورة دالة.

$f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 4 x (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 4 x \cdot 1 + 4 x \ln (x) d x$

خطوة 4.2

اضرب $4$ في $1$ .

$\int 4 x + 4 x \ln (x) d x$

خطوة 4.3

بسّط $4 \ln (x)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$\int 4 x + x \ln (x^{4}) d x$

خطوة 5

أعِد كتابة $4 x + x \ln (x^{4})$ بالصيغة $4 x + x (4 \ln (x))$ .

$\int 4 x + x (4 \ln (x)) d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 4 x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

خطوة 7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x (4 \ln (x)) d x$

خطوة 9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x (\ln (x)) d x$

خطوة 10

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 11.3

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 11.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 11.5

اضرب $\frac{x^{2}}{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

خطوة 11.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

خطوة 11.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

خطوة 11.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

خطوة 11.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

خطوة 14.2

بسّط.

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}) + C$

خطوة 14.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اضرب $\frac{x^{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + C$

خطوة 14.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

خطوة 14.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} + 4 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

خطوة 14.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 x^{2} + 2 (2) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

خطوة 14.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

خطوة 14.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

خطوة 14.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

خطوة 14.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

خطوة 14.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) - x^{2} + C$

خطوة 14.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $2 \ln (x) x^{2} - x^{2}$ .

$2 x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) - x^{2} + C$

خطوة 14.4.5

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$ .

$F (x) =$ $x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$