حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{3} + x y = - 5 + 5 x^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x y) = \frac{d}{d x} (- 5 + 5 x^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} + x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$3 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1$

خطوة 2.3.4

اضرب $y$ في $1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 5 + 5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

خطوة 3.1.2

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 + 5 (3 x^{2})$

خطوة 3.2.3

اضرب $3$ في $5$ .

$0 + 15 x^{2}$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $15 x^{2}$ .

$15 x^{2}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 y^{2} y' + x y' + y = 15 x^{2}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' + x y' = 15 x^{2} - y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' + x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + x (y') = 15 x^{2} - y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) = 15 x^{2} - y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (3 y^{2} + x) = 15 x^{2} - y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} + x) = 15 x^{2} - y$ على $3 y^{2} + x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} + x) = 15 x^{2} - y$ على $3 y^{2} + x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + x)}{3 y^{2} + x} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} + x} + \frac{- y}{3 y^{2} + x}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y^{2} + x)}{3 y^{2} + x} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} + x} + \frac{- y}{3 y^{2} + x}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} + x} + \frac{- y}{3 y^{2} + x}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{15 x^{2} - y}{3 y^{2} + x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{2} - y}{3 y^{2} + x}$