حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \arctan (x)$

خطوة 1

اكتب $2 \arctan (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 \arctan (x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 2 \arctan (x) d x$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \arctan (x) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arctan (x)$ و $d v = 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 6

اجمع $x$ و $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 7

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 7.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

خطوة 8.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

خطوة 10

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

خطوة 11

بسّط.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\ln (| x^{2} + 1 |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

خطوة 13.2

لكتابة $\arctan (x) x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

خطوة 13.3

اجمع $\arctan (x) x$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\arctan (x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

خطوة 13.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

خطوة 13.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

خطوة 13.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 13.6

انقُل $2$ إلى يسار $\arctan (x) x$ .

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 13.7

أعِد ترتيب العوامل في $2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 2 \arctan (x)$ .

$F (x) =$ $2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$