حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{\infty} \frac{5}{x^{4}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{5}{x^{4}} d x$

خطوة 2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{4}} d x$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $x^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} {(x^{4})}^{- 1} d x$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{4 \cdot - 1} d x$

خطوة 3.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{- 4} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{t})$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $x^{- 3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{t})$

خطوة 5.1.2

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{t})$

خطوة 5.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{3 x^{3}}$ في $t$ وفي $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 t^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}})$

خطوة 5.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1})$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3})$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3}$

خطوة 6.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

خطوة 6.1.3

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

خطوة 6.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{t^{3}}$ يقترب من $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

خطوة 6.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

احسِب قيمة حد $\frac{1}{3}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3})$

خطوة 6.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3})$

خطوة 6.3.2.1.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{3})$

خطوة 6.3.2.2

أضف $0$ و $\frac{1}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3})$

خطوة 6.3.2.3

اجمع $5$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{5}{3}$

الصيغة العشرية:

$1.\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$1 \frac{2}{3}$