حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{\frac{x + 1}{2}}$

خطوة 1

اكتب $e^{\frac{x + 1}{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int e^{\frac{x + 1}{2}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \frac{x + 1}{2}$ . إذن $d u = \frac{1}{2} d x$ ، لذا $2 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \frac{x + 1}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x + 1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2}]$

خطوة 4.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x + 1}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.1.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

خطوة 4.1.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 4.1.6.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\int e^{u} \cdot 2 d u$

خطوة 5.3

انقُل $2$ إلى يسار $e^{u}$ .

$\int 2 e^{u} d u$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int e^{u} d u$

خطوة 7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

خطوة 8

بسّط.

$2 e^{u} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x + 1}{2}$ .

$2 e^{\frac{x + 1}{2}} + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$