حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $v^{4}$ من $v^{4} + 4 v^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اضرب في $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $v^{4}$ من $4 v^{8}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})}{v^{5}} d v$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $v^{4}$ من $v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{5}} d v$

خطوة 1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $v^{4}$ من $v^{5}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 4 v^{4}}{v} d v$

خطوة 2

أعِد ترتيب $1$ و $4 v^{4}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{4 v^{4} + 1}{v} d v$

خطوة 3

اقسِم $4 v^{4} + 1$ على $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

خطوة 3.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 v^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $v$ .

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

خطوة 3.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

خطوة 3.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 v^{4} + 0$

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

خطوة 3.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

خطوة 3.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

$0 v^{2}$

$0 v$

خطوة 3.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} + \frac{1}{v} d v$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

خطوة 5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{1}^{2} v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $v^{3}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{1}{4} v^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} v^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{4}$ و $v^{4}$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{v}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\ln (| v |)$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

احسِب قيمة $\frac{v^{4}}{4}$ في $2$ وفي $1$ .

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

خطوة 9.1.2

احسِب قيمة $\ln (| v |)$ في $2$ وفي $1$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 (4 - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.4

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.5

اجمع $4$ و $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.7.1

اضرب $4$ في $4$ .

$4 \frac{16 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.7.2

اطرح $1$ من $16$ .

$4 (\frac{15}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.8

اجمع $4$ و $\frac{15}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.9

اضرب $4$ في $15$ .

$\frac{60}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $60$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.10.1

أخرِج العامل $4$ من $60$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.10.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{15}{1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.1.3.10.2.4

اقسِم $15$ على $1$ .

$15 + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 9.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$15 + \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$15 + \ln (\frac{2}{| 1 |})$

خطوة 9.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$15 + \ln (\frac{2}{1})$

خطوة 9.3.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$15 + \ln (2)$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$15 + \ln (2)$

الصيغة العشرية:

$15.69314718 \dots$

خطوة 11