حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 2$ و $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3

اضرب الأُسس في ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{1}}$

خطوة 4

بسّط.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

خطوة 5.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

خطوة 5.4.2

اضرب ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + 3$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 3$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

خطوة 7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

خطوة 8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

خطوة 9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

خطوة 10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

خطوة 10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

خطوة 11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

خطوة 11.3

انقُل ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{x + 3}$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{x + 3}$

خطوة 14

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0))}{x + 3}$

خطوة 15

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 3}$

خطوة 15.2

اضرب $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$

خطوة 15.3

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

خطوة 16.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

خطوة 16.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.2

لنفترض أن $u_{2} = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ . استبدِل $u_{2}$ بجميع حالات حدوث ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3 \frac{2 u_{2} \cdot u_{2} - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.2.2

اضرب $u_{2}$ في $u_{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.2.2.1

انقُل $u_{2}$ .

$\frac{3 \frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.2.2.2

اضرب $u_{2}$ في $u_{2}$ .

$\frac{3 \frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \frac{2 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.4.1.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.4.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.4.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.4.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{1} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.4.1.2

بسّط.

$\frac{3 \frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 \frac{2 x + 2 \cdot 3 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.4.1.4

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{3 \frac{2 x + 6 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.4.2

اطرح $x$ من $2 x$ .

$\frac{3 \frac{x + 6 - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.4.4.3

اطرح $2$ من $6$ .

$\frac{3 \frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

اجمع $3$ و $\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

خطوة 16.5.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$

خطوة 16.5.3

أعِد كتابة $\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 6}$

خطوة 16.5.4

اضرب $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{2 x + 6}$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 6)}$

خطوة 16.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 6)}$

خطوة 16.6.1.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 3)}$

خطوة 16.6.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 3))}$

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x + 3)}$

خطوة 16.6.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.6.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (x + 3)}$

خطوة 16.6.2.2

ارفع $x + 3$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 16.6.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

خطوة 16.6.2.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

خطوة 16.6.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

خطوة 16.6.2.6

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$