حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\tan (x^{2} y^{4}) = 3 x + y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\tan (x^{2} y^{4})) = \frac{d}{d x} (3 x + y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = x^{2} y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2} y^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2} y^{4}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y^{4}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.4

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 \cdot x^{2} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} (2 x))$

خطوة 2.7

انقُل $2$ إلى يسار $y^{4}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + 2 \cdot y^{4} x)$

خطوة 2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y') + \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y^{4} x)$

خطوة 2.8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 + 2 y y'$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 3$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) = 2 y y' + 3$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) = 2 y y' + 3$

خطوة 5.2

اطرح $2 y y'$ من كلا المتعادلين.

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y' = 3$

خطوة 5.3

اطرح $2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ من كلا المتعادلين.

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y' = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $2 y y'$ من $4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $2 y y'$ من $4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) - 2 y y' = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $2 y y'$ من $- 2 y y'$ .

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) + 2 y y' \cdot - 1 = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $2 y y'$ من $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ على $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ على $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.5.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 (y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1))}$

خطوة 5.5.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 (y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1))}$

خطوة 5.5.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{4}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{y (- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{y (- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$

خطوة 5.5.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$

خطوة 5.5.3.2

لكتابة $- \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1} \cdot \frac{2 y}{2 y}$

خطوة 5.5.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.1

اضرب $\frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$ في $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{(2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) (2 y)}$

خطوة 5.5.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) (2 y)$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{3 - y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.5.1

اضرب $y^{3}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.5.1.1

انقُل $y$ .

$y' = \frac{3 - (y \cdot y^{3}) x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.3.5.1.2

اضرب $y$ في $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.5.1.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{3 - (y^{1} y^{3}) x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.3.5.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = \frac{3 - y^{1 + 3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.3.5.1.3

أضف $1$ و $3$ .

$y' = \frac{3 - y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 5.5.3.5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y' = \frac{3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$