حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = x + 1$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 3.5

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = x + 4$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = x + 4$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 5.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

خطوة 5.3

أضف $0$ و $4$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = x + 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

خطوة 5.5

أضف $1$ و $4$ .

$u_{upper} = 5$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل ${u_{2}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 6.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\ln (| u_{1} |)$ في $2$ وفي $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $- {u_{2}}^{- 1}$ في $5$ وفي $4$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + (- 5^{- 1}) + 4^{- 1}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + 4^{- 1}$

خطوة 8.3.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$

خطوة 8.3.3

لكتابة $- \frac{1}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

خطوة 8.3.4

لكتابة $\frac{1}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 8.3.5

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $20$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.5.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 8.3.5.2

اضرب $5$ في $4$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 8.3.5.3

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}$

خطوة 8.3.5.4

اضرب $4$ في $5$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{20}$

خطوة 8.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4 + 5}{20}$

خطوة 8.3.7

أضف $- 4$ و $5$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}$

خطوة 9

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

خطوة 10.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) + \frac{1}{20}$

خطوة 10.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

الصيغة العشرية:

$0.74314718 \dots$

خطوة 12